0是偶數還是奇數？為什麼負負得正？

「化圓為方」行得通嗎？數學竟然可以證明上帝的存在！？

本書收集來自世界各地101道最重要的數學提問，

在這些五花八門的問題背後，隱藏著數學最重要的原理，

走進小小數學博物館，你將會認識數學以及整個宇宙，大大開啟你的數學腦！

「讓人產生最大樂趣的，應該是學習，而不是知識，

           是追尋而不是擁有，是過程而不是結果。」——高斯

　　位於德國基森的知名數學博物館，每年都有來自世界各地的遊客參訪，人們透過館內的各項設施，動動腦，試試看，自然而然的發現數學，進而學習數學知識及釐清數學概念。雖然數學館沒有方程式和多項式，很少提到數學史，也幾乎沒有文字說明，訪客卻在動手做的過程中驚喜連連，問題不斷。

　　館長阿爾貝希特．波依特許巴赫（Albrecht Beutelspacher）本身是一位數學家，經常得要回答讀者們的提問，他集結了多年來的提問與解答，整理出了101道最重要的數學提問，每一個看似五花八門、不登大雅之堂的問題，卻都指向了數學史的某個里程碑、或最重要的數學原理、甚至是數學素養。

　　透過趣味橫生的提問以及風趣幽默的回答中，讀者能重新體會數學的樂趣，進入數學大師的腦袋中，了解他們為何思索這些問題。回到數學發展的歷史中，重新看見數學原理被提出的背景，更能發現原來數學不僅是科學發展的基石，甚至能夠描繪遙遠的宇宙與超自然的現象。

　　本書透過嚴謹的審定與仔細的分類，緊密扣合著數學學習的各階段，分為趣味篇與挑戰篇，讀者可以依照自己的喜好與程度，逐篇觀賞，或者跳篇閱讀，都能充分享受數學的樂趣。

　　走進小小數學博物館，重新打造你的數學腦，你會發現，數學不容易，但也沒有想像中的難，而且比你想的還好玩喔！

小小數學博物館的數學名言錄

˙數學就是我們認知工具的延伸，當碰到理解極限時，數學能幫我們往前走下去。

˙數學能讓我們用另一個角度看世界。

˙數學是文化的一部份，就跟語言一樣，我們也是透過已經會數學的人來進入數學領域。所以學習數學應該跟語言一樣，透過反覆嘗試與練習，而不是直接告訴他們該怎麼做。

˙雖然數學充滿冷冰冰的邏輯跟嚴格的規則，但在面對艱難的情境時，卻往往無堅不摧。

作者序

文／阿爾貝希特．波依特許巴赫

　　位於基森的「數學館」(Mathematikum)是一座數學的「互動式博物館」，從2002年開幕後每年都吸引15萬名左右的訪客，在館內150個展覽點，不管是解數學題、用肥皂泡泡作實驗或是探索自己身體的黃金比例，都讓大人小孩玩得不亦樂乎。經由這些活動每個人自然而然的發現數學，動動腦，試試看，進而學習數學知識及釐清數學概念。

　　雖然數學館沒有方程式和多項式，也很少提到數學史，也幾乎沒有文字說明，訪客卻在動手做的過程中驚喜連連，問題不斷。我自己常常被當面提問，除了面對面之外，有些人是透過電子郵件或甚至寫信。

　　大家的問題包羅萬象，有些是關於數學的本質：簽中一次大樂透的機會有多大？棋盤上會有多少粒米？「費馬最後定理」是什麼？

　　有些則是數學史的問題：「0」是什麼時候出現？為什麼諾貝爾獎沒有數學獎？什麼是「希伯特的問題」？

　　有些問題容易回答：一張A4紙有多大？13是不吉利的數字嗎？等於多少？

　　有些問題超難回答：凡事都可以證明嗎？一定要用公式嗎？為什麼負負得正？

　　有些問題已經超越數學領域：外星人能了解我們的數學嗎？我們可以證明上帝的存在嗎？為什麼數學家不會算術？

　　我竭盡所能的思考這些問題，並且把解答都寫在本書中，這些解答應該是正確的，因為都不是憑空想像的，而是以科學家的角度來探討和回答，並且力求簡單明瞭的說明，避免聽者不知所云，最後引來抱怨：「到底講什麼啊？」

　　當然不管是問題的選擇，或是解答的呈現都來自個人的主觀看法，有時候為了把解答說明得清楚具體，一針見血，我確實卯足全力。馮塔納（Theordor Fontane）在他的小說《Stechlin》中寫著：「無庸置疑的真相並不存在，即使有，也太無聊了。」這就是我寫這本書時的座右銘。

　　我希望書中解答了所有的問題，萬一讀者還有問題，而且相信我可以幫得上忙，歡迎直接寫信給我：[email protected]

專家推薦序

我看《小小數學博物館》

文／美國印地安納州普度大學數學哲學博士、台大數學系退休教授　黃敏晃

　　小孩對外界總是有許多疑惑，大人也不容易回答得清楚。三十年前，我們的小孩上小學時，台灣有套兒童讀物《十萬個為什麼？》代我回答了很多非數學的問題。數學方面的問題我當然親自上陣處理，所以曾經有朋友請我寫本數學方面的為什麼，但因某種原因並未進行。

　　這本書就是這方面的讀物，作者是德國基森的「數學博物館」的館長——阿爾貝希特‧波依許巴赫。他把許多訪客所提的數學問題中，比較單純大眾化的（專業性強的問題當然沒列入）回答，共101則，整理後出版了這本書。

　　數學內容討論的材料是數、量、形和關係，所以問題和回答都會有點抽象、形式。書中的數學問題依性質可分成幾種類型，舉例說明如下：

（1）學習型的，如1/2＋1/3為什麼是5/6，而不是2/5？為什麼不能除以0？為什麼要背九九乘法表？

　　這類問題通常在釐清問題的本質，和所牽涉數學物件的意義後，就能講清楚。

（2）存在形式的，如計算樂透中獎的神祕公式嗎？有計算出質數的公式嗎？每個方程式都有解嗎？真的有四維空間嗎？

　　存在性和唯一性常是數學討論的重點，因為數學家認為討論不存在的事物沒有意義，前兩個問題的答案是否定的，許多人太高估了數學的功能，以為數學總能提供公式解決難題，但這種靈丹其實並不存在。至於方程式的解和四維空間的存在，則會出乎許多讀者的意料之外。

　　無理數的出現（也可以說是其存在的證明）是數學上有名的故事。在畢氏定定理被證明之前，畢達哥拉斯學派是一個興盛的宗教型學派，信徒捐出所有財產，聚居在某些封閉會所，不和外人往來，會眾大多無法辨識每個人，還要互考能否用尺規作圖方式，畫出五芒星，亦即正五邊形五條對角線形成的圖形，篤信「世界萬物的測量都可由自然數透過單純的運作（如加、減、乘、除、比例等）而得到」，如琴絃在某些自然數之比的長度處，可彈出不同的樂音，就是此派的貢獻。因此，他們常用分數，但在信仰上排斥了「無理數」（非自然數之比的實數）的存在。畢氏定理被證明之後，一個正方形的對角線長是其長邊的根號2倍，而根號2是無理數，此學派便因信仰崩潰而完全瓦解。

（3）某類數學物件是否無限多的問題，如：有無限多的數字嗎？到底有多少質數？有多少分數？有多少無理數？

　　這裡牽涉到的無限多，是數學裡所謂的最初級的無限多，意思和自然數一樣多，數都數不完（永遠有一個數比很大很大的數多1，因此沒有最大的自然數）。譬如說，質數有無限多的證明就是靠一樣的邏輯——有限就可以完整的羅列，但全部列出來後，我們總可以找到另一個質數，故質數的數目就有無限多了。

　　另外，和無限有關的是，如0.9999……＝1嗎？1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋……＝？以及阿基里斯何時能趕上烏龜？的芝諾悖論等牽涉到無限次運作的事務。

　　人的生命有限，現代人雖不像古人那樣，人生七十古來稀，但也很少過百歲的人瑞。不管如何，人命有限，無法作無限多次運作。因此，牽涉到無限運作的事務是要另外界定的。如：

1/2＋1/4＝3/4

1/2＋1/4＋1/8＝7/8

1/2＋1/4＋1/8＋1/16＝15/16

…………………………

1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋……＋1/2n＝2n-1/2n

　　即其結果越來越接近1，所以，數學裡我們界定其結果就是1。

　　許多人不能接受這樣的說法，他們覺得0.999……就是比1小那麼一點點，這裡需要用到一點推論來說明了：如果0.999……是一個固定的數，那麼它應該多少呢？

　　顯然，它是比1大的數是不對的，而任何比1小的數也不行，因為只要我們取的位數夠多，它就會比這個數大，因此它只能是1。數學的定義常常是這樣子，是人為的，因為數學物件是人造的，而非像熊貓或芒果那樣是天然的。德國數學家Dedekin說過：「數學裡除了1、2、3……等自然數的概念外，其他物件都是數學家造出來的。」

　　數學家造出來的東西，其意義當然是他自己界定的。譬如說，4⁰這個形式的符號，它代表什麼樣的數呢？

　　我們當然不能隨便亂定，而要回歸到次方的意義：4³代表3個4相乘，4²代表2個4相乘，4¹本來是沒有需要的符號（只有1個4，根本沒有相乘的可能），但看到4³、4²等的界定，把4¹定義成成4，可以讓下面的指數算則方便運作——若a和b是自然數，則有（下式中的4可以改成其他數）

4^a×4^b＝4^a+b，(4^a)^b＝4^ab

　　那麼，4⁰要定義成怎麼樣的數，才能使上面的指數保持成立呢？答案是4⁰＝1。這樣的做法，就是數學裡的「規約觀點」（conventionsim）。讀者以後見多了，就不會覺得奇怪了。

　　其他問題筆者就不多談了，讀數學書時不能像小說那樣，順著劇情走，每逢難處就停下來想一想，若需要動筆計算也不要偷懶。因為數學家寫數學文章時，常覺得材料簡單，因此輕輕幾筆帶過，以為別人會跟他一樣清楚。

　　另外，本書的作者是德國人，書中難免帶著些許德國味道，譬如問題052：誰是德國最偉大的數學家？問題079提到的「希伯特問題」和問題055「希伯特旅館」中的希伯特，就是非常有名的德國數學家。讀者只要能夠了解這點，此書不失為很好的數學讀物。

                      　　　　　　     台大數學系退休教授　黃敏晃

                                               2014年10月20日

書籍目錄

前言

推薦序

趣味篇

一、數字變變變

1、機率的計算是什麼時候開始的？

2、1＋2＋3＋……＋100＝?

3、棋盤上有多少米粒？

4、兩個人同一天生日的機會有多大？

5、2000年前存下100元，現在值多少？

6、我丟10次骰子，可以確定至少有1次是六點嗎？

7、簽中一次大樂透的機會有多少？

8、如何不必抓光全池的魚，就能知道池裡大概有多少魚？

9、什麼是「三門問題」？

10、為什麼負負得正？

11、二項式定理有什麼用途？

12、什麼是「根」？

13、每個方程式都有解嗎？

14、什麼是超越數？

二、乾坤大挪移

15、A4紙是多大？

16、每個四邊形都是正方形嗎？

17、哪一種多邊形可以完美接合？

18、為什麼圓或球無法接合？

19、為什麼蜂巢是六角形構圖？

20、為什麼只有5種「柏拉圖立體」？

21、平行線會在無窮處相交嗎？

22、什麼是「非歐幾何」？

23、為什麼對稱比較美？

24、古代有哪些難解的數學問題？

25、「化圓為方」行得通嗎？

26、「畢氏定理」是什麼？

27、空間和數字有什麼關係？

28、我們能了解四維空間嗎？

三、腦力激盪

29、最古老的數字是什麼？

30、13是不吉利的數字嗎？

31、人類何時開始運用數字計算？

32、古埃及人怎麼計算的？

33、古羅馬人怎麼計算的？

34、「0」是什麼時候出現的？

35、「0」是偶數嗎？

36、為什麼不能除以「0」？

37、為什麼要學「九九乘法」？

38、一百兆是多少？

39、Googol是什麼？

40、什麼是二進位系統？

41、有無限多的數字嗎？

42、為什麼2＋2＝4？

43、到底有多少個質數？

44、有任何質數的方程式嗎？

45、1/2＋1/3等於多少？

46、到底有多少分數？

47、有無理數嗎？

48、無理數有多少個？

挑戰篇

四、怪怪數學家

49、為什麼數學家不會算術？

50、為什麼數學家怪怪的？

51、有史以來最偉大的數學家是誰？

52、誰是德國最偉大的數學家？

53、女性天生數學就比較差嗎？

54、為什麼諾貝爾獎中沒有數學獎？

55、什麼是「希伯特的旅館」？

56、數學家需要直覺和想像嗎？

57、為什麼要學數學？

58、為什麼數學令人害怕

59、為什麼數學這麼難？

60、一定要有公式嗎？

61、數學可以速成嗎？

62、為什麼數學這麼難學？

五、能力大考驗

63、阿基里斯何時趕上烏龜？

64、0.999……＝1對嗎？

65、無窮數可以加總嗎？

66、我們如何利用數學理解移動？

67、什麼是指數函數？

68、對數有什麼用途？

69、要知道幾點才能得知一個函數的全貌？

70、數學可以應用在哪裡？

71、數學也是軍事科學嗎？

72、有計算復活節是哪一天的公式嗎？

73、電腦改變了數學？

74、數學問題的難度可以測量嗎？

75、檢驗答案比找出答案簡單嗎？

76、數學和音樂有關係嗎？

77、在數學裡還有什麼要研究的嗎？

78、為什麼「問題」很重要？

79、什麼是「希伯特的問題」？

80、什麼是「100萬元的難題」？

81、什麼是「3n＋1難題」？

82、我們可以證明一切嗎？

83、數學裡沒有矛盾嗎？

六、尋找數學的真相

    84、什麼是數學？

    85、什麼時候開始有數學的？

    86、第一本數學書是什麼？

    87、什麼是「點」

    88、什麼是證明？

    89、什麼是公理？

    90、我們怎麼證明不存在東西？

    91、數學是自然還是人文科學？

    92、為什麼數學這麼抽象？

    93、是畢達哥拉斯發明了畢氏定理嗎？

    94、什麼是「費馬最後定理」？

    95、為什麼我們需要「複數」？

96、數字本身有意義嗎？

97、動物會算數嗎？

98、最美的公式是什麼？

99、我們可以證明上帝的存在嗎？

100、數學概念是被「發現」或是「發明」的？

    101、外星人可以了解我們的數學嗎？